零极点分析

零点、极点、K值三者可以共同提供对一个系统的完整描述。其中零点和极点的位置可以提供一些定性的见解。

$$ H(s)=\frac{b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}}{a_{n} s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}} $$

$$ H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=K \frac{\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m-1}\right)\left(s-z_{m}\right)}{\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n-1}\right)\left(s-p_{n}\right)} $$

极点的六种位置

1. 实轴负半轴（$p_i = -\sigma$）：增益随着频率的增大而衰减，极点离远点越远，衰减的越快。
2. 原点（$p_i = 0$）：增益为常数
3. 实轴正半轴（$p_i = \sigma$）：增益随着频率的增大而指数增大，系统不稳定。
4. 负半平面的共轭极点（$p_i = -\sigma \pm j\omega$）：增益为 $Ae^{-\sigma t}\sin (\omega t+\phi)$，振荡衰减，其中 $\sigma$ 决定衰减速率，$\omega$ 决定周期。
5. 在虚轴上的共轭极点（$p_i = \pm j\omega$）：振幅不变的振荡
6. 在正半平面的共轭极点（$p_i = \sigma \pm j\omega$）：振幅增大的振荡

系统若是稳定的，则要求所有极点都拥有小于0的1实部（即$\sigma<0$），也即极点落在负半平面；若有极点在虚轴上，则系统临界稳定。

几何方法

频率响应

零点与极点重合会怎样？

如果理解了传递函数，就不再会有这样的疑问了。

首先，从传递函数 $H(s)$ 的因式分解式看，若存在完全相同的零点和极点，则分子分母中会有相同的项，因此彼此抵消。

另外，也可以从图形法推理处同样的结论。

从波特图的角度，也可以理解，二者在同一点产生完全相反的影响，自然互相抵消。