卡诺图 Karnaugh Map

#电子电路/数字电路

卡诺图是根据 [[真值表]] ，按照一定的规则画出来的方格图。

$n$ 个变量的卡诺图，由 $2^n$ 个方块组成。

卡诺图的画法

卡诺图的画法遵循下面三条规则：

1. 每个变量都把全图分为两半，一半代表原变量，一半代表反变量。
2. 将变量符号（$A$、$B$、...）标注在方格图的左上角斜线两侧，并在方格图的上方和左侧的每个方块边沿标注每个变量的取值。取值的原则是：在任何两个相邻或轴对称（称逻辑相邻对称）的方块中，其自变量的组合之间，有且仅有一个变量取值不同。
3. 每个方块的编号，就是真值表中每种变量组合的二进制对应的十进制数，也就是[[最小项]]的编号。

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这是来自 维基百科 的卡诺图示例。

缺少4、5变量的图

逻辑相邻对称

在卡诺图中，凡是相邻或与轴线对称的方块，都叫逻辑相邻对称。可以理解为处于 $n$ 阶张量中的“相邻”位置。

满足逻辑相邻对称的两个方块之间，有且仅有一个变量的取值不同，因此可以利用[[吸收律]]（$AB+A\overline{B}=A$）进行合并。

例如，在 2 变量卡诺图中，0 与 1、2 相邻；
在 3 变量卡诺图中，0 与 1、4、2 相邻；
在 4 变量卡诺图中，0 与 1、4、2、8 相邻；
在 5 变量卡诺图中，0 与 1、8、2、16、4 相邻； 在 $n$ 变量卡诺图中，每方块与 $n$ 个其他方块相邻；

逻辑函数的卡诺图法化简

基本原理：满足逻辑相邻对称的两个方块之间，可以利用吸收律进行合并。$2^n$ 个对称方块可以消去 $n$ 个变量。

方法是根据下列规则画圆圈，注意它们的主要性递减，必须先满足前一条的基础上考虑后一条规则。我们以圈 1 为例：

1. 卡诺图中的所有 1 的方块必须至少被一个圈圈过，不能有遗漏；
2. 画得圈尽可能少，其次每个圈尽可能大；
3. （衍生）画新的圆圈时，至少应包含一个未被圈过的 1，否则这个圈一定是多余的。

在画的时候，一定要注意哪些方块是逻辑相邻对称的，这对于5变量以上的卡诺图更加不直观（虽然也不常用）。

例题，多来几道。

其实，这种方法并不限制于圈 1，圈 0 也是可以的，圈出来的结果是 $\overline{F}$，根据 [[反演规则]] 求出 $F$ 即可。

如卡诺图中有 ”x“, 即不关心其值的方块，它们可以看作 1 或0，在圈圈的时候可以包含在圈中，只要这样做可以使圈变少，或者使圈变大，即需要满足原则2。如果包含某个 x 后结果更加复杂，则不应包含。在圈 1 或 0 时都可以包含 x。

例题，圈1，圈0，圈x