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控制系统
本文简单介绍控制系统的部分知识点，主要是在 [[CMOS 模拟电路]] 中会设计到的 [[传递函数]]、[[波特图]]和[[零极点分析]]等。
参考资料为 EE313 Intro to Control - Youtube @katkinshow. 文中标题均与视频相对应。
1.2 拉普拉斯转换回顾
Laplace Transform Review
请注意，由于拉普拉斯算子 ℒ 不在 LaTex 标准库中，本文使用
mathscr{L}也即 $\mathscr{L}$ 代替，请读者知晓这并非正确的书写方式。
拉普拉斯变换：
$$\mathscr{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \mathrm{d}t \quad (s = \sigma + \omega j)$$
$f(t)$ 定义在时域，而 $F(s)$ 定义在频域，拉普拉斯变换使得二者可以互相转换：
$$F(s) = \mathscr{L}[f(t)] \quad f(t) = \mathscr{L}^{-1}[F(s)]$$
拉普拉斯变换的性质：
线性：$\mathscr{L}[a f(t)+b g(t)]=a \mathscr{L}[f(t)]+b \mathscr{L}[g(t)]$
卷积：$\mathscr{L}[f(t) * g(t)]=\mathscr{L}[f(t)] \cdot \mathscr{L}[g(t)]$
常用拉普拉斯变换
$$\mathscr{L}[1] = \frac{1}{s}$$
$$\mathscr{L}[e^{at}] =\frac{1}{s-a}$$
$$\mathscr{L}[\sin at] = \frac{a}{s^2+a^2},\quad \mathscr{L}[\cos at] = \frac{s}{s^2+a^2}$$
$$\mathscr{L}\left[\int_0^t f(v)dv\right] = \frac{F(s)}{s},\quad \mathscr{L}[f^\prime(t)] = sF(s)$$
计算举例（略）
你可以自己试试。请证明 $f(t) = \cos \pi t$ 的拉普拉斯变换为 $F(s) = \frac{s^2}{s^2+\pi^2}$
4.1 传递函数
Transfer Function
传递函数有三种形式，它们彼此等价，可以互相转换。
➀多项式形式（polunomial form）
$$G(s) = \frac{as^n+bs^{n-1}+\cdots+k_n}{\alpha s^m+\beta s^{m-1}+\cdots+k_m}$$
②标准形式（standard form）
$$G(s) = A\cdot \frac{s^n+gs^{n-1}+\cdots+l_n}{s^m+\gamma s^{m-1}+\cdots+l_m}$$
③因式分解形式（factored form）
$$G(s) = A\cdot \frac{(s+z_1)(s+z_2)\cdots(s+z_n)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots(s+p_m)}$$
阶
$G(s)$ 的分子为 $n$ 阶，分母为 $m$ 阶，而传递函数的阶为 $m$ 与 $n$ 中的最大值 $\max{m,n}$.
若 $m \geq n$ ，则称 $G(s)$ 是 proper 的；若严格的 $m>n$，则称 $G(s)$ 是 Strictly proper。
7.1 零点和极点
使 $G(s)$ 分子为零的 $s$ 值，称为 零点（zero）；
使 $G(s)$ 分母为零的 $s$ 值，称为 极点（pole）。
可以将零点和极点画在复数座标系下，画出来的图称为 pole-zero plot. 其中，零点用圆圈（O）表示，极点用叉（X）表示。
7.2 极点与稳定性
例1 $G(s) = \frac{1}{s+a}$.
零极点：该函数仅有一个极点 $s=-a$，
原函数：拉普拉斯逆变换得 $f(t)=\mathscr{L}^{-1}[G(s)] = e^{-at}$.
稳定性，需要分类讨论：
①若 a>0，则极点在实轴负半轴，f(t) 稳定（stable）；
②若 a=0，则极点在原点处，f(t) 临界稳定（marginally stable）；
③若 a<0，则极点在实轴正半轴，f(t) 不稳定（unstable）；
借助这个例子，可以理解 极点位置（频域）与 系统稳定性（时域）的关系。
例2 $G(s) = \frac{s+2}{s^2+4s+3}=\frac{s+2}{(s+3)(s+1)}$.
零极点：一个零点( $s=-2$)，两个极点 ($s=-3$, $s=-1$).
原函数： $G(s) = \frac{1/2}{s+1}=\frac{1/2}{s+3}$, $f(t)=\frac{1}{2}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-3t}$
稳定性：f(t) 稳定
可以看出，仅存在负极点时，系统总是稳定的。
例3 $G(s) = \frac{s+1}{s^2+2s+2}$.
零极点：一个零点（$s=-1$），两个极点（$s=-1\pm j$）
原函数：我们知道 $\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\right] = e^{-\alpha t}\cos \omega t$, 通过配凑可得 $f(t) = e^{-1}\cos t$
稳定性：稳定